Flashcard FC452344
Como usar decomposição parcial para demonstrar que uma série telescópica converge e determinar sua soma?
Matemática Avançada (Ensino Superior)
Instituto Verbena · 2024
Como usar decomposição parcial para demonstrar que uma série telescópica converge e determinar sua soma?
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Resposta
Escreva cada termo como diferença de termos consecutivos via frações parciais, some parcialmente e tome o limite dos somatórios parciais.Procedimento:
1. Faça decomposição parcial para obter \(a_k=u_k-u_{k+1}\).
2. Calcule a soma parcial \(S_n=\sum_{k=1}^{n}a_k=u_1-u_{n+1}\).
3. Se \(\lim_{n\to\infty}u_{n+1}\) existe e é finito, então a série converge para \(u_1-\lim_{n\to\infty}u_{n+1}\).
Exemplo:
Considere \(\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{6}{k(k+2)}\).
Decomposição parcial: \(\dfrac{6}{k(k+2)}=\dfrac{3}{k}-\dfrac{3}{k+2}\).
Soma parcial: \(S_n=3\sum_{k=1}^{n}\left(\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k+2}\right)=3\left(1+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{n+1}-\dfrac{1}{n+2}\right).\)
Tomando \(n\to\infty\): \(\lim_{n\to\infty}S_n=3\left(1+\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{9}{2}\).
Veja como foi cobrado:
https://flashcardsconcursos.com.br/portal/flashcard/451076
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