Quando a comparação por limites garante que duas séries têm o mesmo comportamento de convergência?

Quando a razão \(\dfrac{a_n}{b_n}\) tende a um número finito e não nulo.

Explicação:
Se \(\lim_{n\to\infty}\dfrac{a_n}{b_n}=L\) com \(0
Exemplo:
Considere \(a_n=\dfrac{e^{\sin(1/n)}}{n^2}\) e \(b_n=\dfrac{1}{n^2}\).
Calcula-se \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\lim_{n\to\infty}e^{\sin(1/n)}=e^{0}=1\).
Como \(1\in(0,\infty)\) e \(\sum 1/n^2\) converge, segue que \(\sum a_n\) também converge.