Em n movimentos com duas opções por movimento, como calcular quantas sequências têm exatamente k escolhas do tipo A e n−k do tipo B?

\( \binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}\)

Cada sequência corresponde a escolher as posições das k escolhas A entre n movimentos, portanto o número é o coeficiente binomial \( \binom{n}{k}\).
O total de caminhos é \(2^n\), então a probabilidade de obter exatamente k escolhas A ao acaso é \( \dfrac{\binom{n}{k}}{2^n}\).

Exemplo:
Se \(n=6\) e queremos exatamente \(k=4\) escolhas A, então
\( \binom{6}{4}=\dfrac{6!}{4!2!}=\dfrac{720}{24\cdot2}=15\).
O total de caminhos é \(2^6=64\), assim a probabilidade é \( \dfrac{15}{64}\).