Qual a probabilidade de duas pessoas específicas ficarem no mesmo grupo quando N pessoas são divididas aleatoriamente em dois grupos iguais?

Resposta

\( \dfrac{N/2-1}{\,N-1\,} \)

Explicação:
Escolha uma pessoa, restam \(N-1\) vagas, das quais \(N/2-1\) estão no mesmo grupo, portanto a probabilidade é \( \dfrac{N/2-1}{N-1} \).
Verificação combinatória, total de escolhas do primeiro grupo \(C(N,N/2)\), casos favoráveis \(2\cdot C(N-2,N/2-2)\), que simplificam para a mesma fração.

exemplo:
Para \(N=12\), grupos de 6, a probabilidade é \( \dfrac{6-1}{11}=\dfrac{5}{11}\).
Combinatória: total \(C(12,6)=924\), favoráveis \(2\cdot C(10,4)=420\), então \(420/924=5/11\).