Como se calcula o número de maneiras de formar um grupo quando se escolhe r1 elementos de um conjunto e r2 elementos de outro conjunto, de forma independente?

Multiplica-se as combinações de cada conjunto, ou seja \(C_{n_1,r_1}\times C_{n_2,r_2}\).

Explicação:
Quando as escolhas em cada conjunto são independentes, conta-se as formas de escolher em cada conjunto usando combinações, \(C_{n,k}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}\), e aplica-se o princípio multiplicativo, multiplicando os resultados.

Exemplo:
Escolher 3 engenheiros entre 7 e 2 designers entre 5: calcular
\(C_{7,3}=\dfrac{7!}{3!4!}=35\)
\(C_{5,2}=\dfrac{5!}{2!3!}=10\)
Multiplicando, total = \(35\times10=350\).