Se \(A\subseteq B\) e \(C\cap A\neq\varnothing\), podemos concluir que \(C\subseteq B\)?

Não, apenas que alguns elementos de C estão em B.

Como \(A\subseteq B\), todo elemento de A pertence a B. Se \(C\cap A\neq\varnothing\), os elementos dessa interseção também pertencem a B, formalmente \(C\cap A\subseteq B\). Contudo, não há informação sobre os demais elementos de C, portanto não se pode afirmar que \(C\subseteq B\).

exemplo:
Considere \(A=\{4,8,12,\dots\}\) (múltiplos de 4), \(B=\{2,4,6,8,10,12,\dots\}\) (números pares), e \(C=\{3,4,9\}\).
Aqui \(A\subseteq B\) e \(C\cap A=\{4\}\neq\varnothing\), porém \(C\nsubseteq B\) porque 3 e 9 não são pares.