Como determinar o próximo termo quando as diferenças entre termos consecutivos se multiplicam por um mesmo fator?

Calcule as diferenças, verifique que elas formam uma progressão geométrica com razão r, calcule a próxima diferença por \(d_{\text{next}}=r\cdot d_{\text{última}}\) e some-a ao último termo.

Para aplicar, faça: calcule \(d_1=a_2-a_1\), \(d_2=a_3-a_2\), confirme que \(d_{k+1}=r\cdot d_k\) para um constante \(r\). Então \(d_{\text{next}}=r\cdot d_{\text{última}}\) e o próximo termo é \(a_{\text{próximo}}=a_{\text{último}}+d_{\text{next}}\).

Exemplo:
Sequência: 3, 7, 15, 31, ...
Diferenças: \(7-3=4\), \(15-7=8\), \(31-15=16\), aqui cada diferença é multiplicada por \(r=2\).
Próxima diferença: \(d_{\text{next}}=2\times16=32\).
Próximo termo: \(31+32=63\).