Como expressar o termo geral para \(a_{2k-1}\) e \(a_{2k}\) quando os termos ímpares e pares formam duas progressões geométricas com razões r1 e r2?

Resposta

a_{2k-1}=a_1\cdot r_1^{\,k-1}, a_{2k}=a_2\cdot r_2^{\,k-1}

Explicação e aplicação:
Se os termos de índice ímpar formam uma PG com primeiro termo a₁ e razão r₁, o k-ésimo termo dessa subsequência (que é o termo de posição \(2k-1\) na sequência total) é \(a_{2k-1}=a_1\cdot r_1^{\,k-1}\).
Se os termos de índice par formam uma PG com primeiro termo a₂ e razão r₂, o k-ésimo termo dessa subsequência (posição \(2k\) na sequência total) é \(a_{2k}=a_2\cdot r_2^{\,k-1}\).

Exemplo:
Considere a sequência 5,4,15,8,45,16,...
Temos ímpares: 5,15,45,... com \(r_1=3\), então \(a_{2k-1}=5\cdot3^{\,k-1}\).
Temos pares: 4,8,16,... com \(r_2=2\), então \(a_{2k}=4\cdot2^{\,k-1}\).
Por exemplo, para \(k=4\), \(a_7=5\cdot3^{3}=135\) e \(a_8=4\cdot2^{3}=32\).