Flashcard FC517360
Qual é o limite em probabilidade de M_k = n^{-1} ∑_{i=1}^n X_i^k para X_i iid Uniforme[0,1] e k>0?
Lei dos Grandes Números e Teorema do Limite Central
CEBRASPE (CESPE) · 2025
Qual é o limite em probabilidade de M_k = n^{-1} ∑_{i=1}^n X_i^k para X_i iid Uniforme[0,1] e k>0?
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Resposta
M_k converge em probabilidade para (k+1)^{-1}.• Transformação: M_k é a média amostral das variáveis Y_i = X_i^k, com X_i iid Uniforme[0,1].
• Condição: Para k>0 as Y_i são limitadas e têm esperança finita.
• Conclusão: Pela lei fraca dos grandes números M_k converge em probabilidade para E[X^k]=∫_0^1 x^k dx=1/(k+1).
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