Como calcular o número de elementos de B a partir de |A| e do número de subconjuntos de A×B?

|A×B| = |A|·|B|, e o número de subconjuntos é 2^{|A|·|B|}. Se dado que A×B tem 2^{k} subconjuntos, iguala-se as potências de 2 para achar |B|.

Explicação detalhada:

Sejam |A| = m e |B| = n, então

\( |A\times B| = |A|\cdot|B| = m\cdot n \)

O número de subconjuntos de um conjunto com \(m\cdot n\) elementos é

\(2^{m\cdot n}\).

Se for informado que esse número é \(2^{k}\), então

\(2^{m\cdot n}=2^{k}\), portanto

\(m\cdot n = k\), e assim

\(n = \dfrac{k}{m}.\)

Exemplo:

Suponha |A| = 7 e que A×B tem \(2^{35}\) subconjuntos.

Temos \(2^{7\cdot |B|}=2^{35}\), então \(7\cdot |B|=35\), logo \( |B|=\dfrac{35}{7}=5\).