Como se calcula a soma de todos os divisores positivos de um número a partir da sua fatoração em primos?

Usa-se a multiplicatividade da função soma dos divisores:
Se \(n=\prod p_i^{a_i}\), então \( \sigma(n)=\prod \dfrac{p_i^{a_i+1}-1}{p_i-1}\).

Explicação:
A soma dos divisores de uma potência de primo \(p^a\) é a série geométrica \(1+p+\dots+p^a=\dfrac{p^{a+1}-1}{p-1}\), como os primos são distintos, multiplica-se essas somas para obter a soma total dos divisores de \(n\).

Exemplo:
Se \(84=2^2\cdot3^1\cdot7^1\), então \(\sigma(2^2)=\dfrac{2^3-1}{2-1}=\dfrac{8-1}{1}=7\), \(\sigma(3^1)=\dfrac{3^2-1}{3-1}=\dfrac{9-1}{2}=4\), \(\sigma(7^1)=\dfrac{7^2-1}{7-1}=\dfrac{49-1}{6}=8\).
Logo \(\sigma(84)=7\cdot4\cdot8=224\).