Se um número natural tem exatamente três divisores positivos, qual é sua forma em termos de fatoração prima?

É o quadrado de um número primo.

Um número natural \(n\) com fatoração prima \(n=\prod p_i^{a_i}\) tem \(\tau(n)=\prod (a_i+1)\) divisores.
Para \(\tau(n)=3\), como 3 é primo, deve haver apenas um fator com expoente \(a\) tal que \(a+1=3\), logo \(a=2\).
Portanto \(n=p^2\), com \(p\) primo.

exemplo:
Considere \(n=49\). Temos \(49=7^2\) com \(7\) primo.
Os divisores são \(1,7,49\), total de 3 divisores, confirma a regra.