Como, pela fatoração prima, construir dois números a e b a partir de um dado mdc e mmc?

Distribua para cada primo os expoentes de modo que o mdc seja o mínimo e o mmc seja o máximo, garantindo \(a\cdot b=\text{mdc}\cdot\text{mmc}\).

Para cada primo \(p\), escreva \( \text{mdc}=\prod p^{m_p}\) e \( \text{mmc}=\prod p^{M_p}\), com \(m_p\le M_p\). Escolha expoentes \(e_p,f_p\) para \(a\) e \(b\) tais que \(\min(e_p,f_p)=m_p\) e \(\max(e_p,f_p)=M_p\). Assim \(a=\prod p^{e_p}\) e \(b=\prod p^{f_p}\), e verifica-se \(a\cdot b=\text{mdc}\cdot\text{mmc}\).

Exemplo:
Se \(\text{mdc}=4=2^2\) e \(\text{mmc}=180=2^2\cdot3^2\cdot5\), então para o primo 2 temos \(m_2=2,M_2=2\), para 3 \(m_3=0,M_3=2\), para 5 \(m_5=0,M_5=1\). Escolhendo
\(a=2^2\cdot3^2\cdot5^0=36\),
\(b=2^2\cdot3^0\cdot5^1=20\),
verifica-se \( \gcd(36,20)=4\), \( \operatorname{lcm}(36,20)=180\), e \(36\cdot20=720=4\cdot180\).