Flashcard FC571684
Como determinar o menor n tal que n! seja divisível por p^a, com p primo e a inteiro positivo?
Conjuntos
CEV UECE · 2018
Como determinar o menor n tal que n! seja divisível por p^a, com p primo e a inteiro positivo?
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Resposta
\(\text{Escolha o menor }n\text{ com }\sum_{k\ge1}\left\lfloor\frac{n}{p^k}\right\rfloor\ge a\)Conte a multiplicidade de \(p\) em \(n!\) usando \(\sum_{k\ge1}\left\lfloor\frac{n}{p^k}\right\rfloor\), escolha o menor \(n\) cuja soma alcance \(a\), testar valores crescentes de \(n\) ou estimar por múltiplos de \(p,p^2,\dots\) ajuda a encontrar rapidamente o mínimo.
exemplo: determinar o menor \(n\) tal que \(n!\) seja divisível por \(3^5\).
\( \left\lfloor\frac{11}{3}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{11}{9}\right\rfloor=3+1=4<5\), insuficiente.
\( \left\lfloor\frac{12}{3}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{12}{9}\right\rfloor=4+1=5\ge5\).
Portanto o menor \(n\) é \(12\).
Veja como foi cobrado:
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