Como se determina a quantidade de divisores de um número a partir da sua fatoração prima?

Multiplica-se cada expoente somado a 1, ou seja, número de divisores = \(\prod (a_i+1)\).

Explicação: na fatoração prima \(N=\prod p_i^{a_i}\), para cada primo \(p_i\) podemos escolher potência \(p_i^0,p_i^1,\dots,p_i^{a_i}\), são \(a_i+1\) possibilidades, multiplicam-se as possibilidades entre os primos, resultando em \(\prod (a_i+1)\).

Exemplo:
Considere \(N=2^3\cdot7^1\cdot11^2\).
Quantidade de divisores = \((3+1)(1+1)(2+1)=4\cdot2\cdot3=24\).
Logo \(N\) tem 24 divisores.