Flashcard FC571718
Como reescrever \( \dfrac{n}{n+1}\) para facilitar a soma de termos quando n varia?
Conjuntos
CEV UECE · 2017
Como reescrever \( \dfrac{n}{n+1}\) para facilitar a soma de termos quando n varia?
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Resposta
\( \dfrac{n}{n+1}=1-\dfrac{1}{n+1}\)Substituindo essa identidade numa soma, cada termo vira 1 menos um recíproco, assim
\(\displaystyle \sum_{n=a}^{b}\dfrac{n}{n+1}=\sum_{n=a}^{b}1-\sum_{n=a}^{b}\dfrac{1}{n+1}=(b-a+1)-\sum_{k=a+1}^{b+1}\dfrac{1}{k}\)
Exemplo:
Calcule \(\displaystyle \sum_{n=2}^{5}\dfrac{n}{n+1}\).
Usando a identidade, \(\sum_{n=2}^{5}\dfrac{n}{n+1}=4-\left(\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{6}\right)\).
Somando os recíprocos com denominador comum 60, \( \dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{20+15+12+10}{60}=\dfrac{57}{60}\).
Portanto, \(4-\dfrac{57}{60}=\dfrac{240-57}{60}=\dfrac{183}{60}=\dfrac{61}{20}=3{,}05\).
Veja como foi cobrado:
https://flashcardsconcursos.com.br/portal/flashcard/571524
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