Como transformar um produto de potências em \(m\cdot10^k\) para determinar o número de algarismos?

Resposta

Escreva as bases em primos, some os expoentes, agrupe fatores iguais de \(2\) e \(5\) para formar \(10^k\), o número de algarismos é os algarismos de \(m\) mais \(k\).

Explique: fatorize as bases em primos, use a propriedade \((a^b)^c=a^{bc}\), obtenha potências de \(2\) e \(5\), separe \(2^k5^k=10^k\), o restante é \(m\) (não múltiplo de 10). O inteiro é \(m\cdot10^k\), então tem digits(m)+k algarismos.

Exemplo:
\(4^8\cdot125^3=(2^2)^8\cdot(5^3)^3=2^{16}\cdot5^{9}\)
\(=2^{7}\cdot(2^{9}\cdot5^{9})=2^{7}\cdot10^{9}\)
\(2^{7}=128\), então o número é \(128\times10^{9}\)
número de algarismos = algarismos de \(128\) (3) + \(9\) = \(12\).