Como se calcula a soma dos coeficientes binomiais de uma linha do triângulo de Pascal quando os sinais são todos positivos ou quando alternam?

Use o Teorema Binomial: substitua \(x=1\) ou \(x=-1\).

Pelo binômio de Newton, \( (1+1)^n=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}=2^n\), e \( (1-1)^n=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}(-1)^k=0\).

Exemplo:
Para \(n=10\), sinais positivos: \(\sum_{k=0}^{10}\binom{10}{k}=(1+1)^{10}=2^{10}=1024\).
Com sinais alternados: \(\sum_{k=0}^{10}\binom{10}{k}(-1)^k=(1-1)^{10}=0\).