Flashcard FC571784
Como se determina o período de uma sequência definida por iteração \(a_{n+1}=f(a_n)\) e como usar o resto da divisão de \(n\) pelo período para encontrar \(a_n\)?
Sequências de Números, Figuras, Letras e Palavras
CEV UECE · 2015
Como se determina o período de uma sequência definida por iteração \(a_{n+1}=f(a_n)\) e como usar o resto da divisão de \(n\) pelo período para encontrar \(a_n\)?
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Resposta
Itere a função até obter um valor já visto; o número de iterações é o período, depois use o resto da divisão de \(n\) pelo período para identificar qual termo da ciclo corresponde a \(a_n\).Uma explicação com exemplo:
Se \(f(x)=\dfrac{1-x}{1+x}\), calcule \(f(f(x))\):
\(f(f(x))=\dfrac{1-\dfrac{1-x}{1+x}}{1+\dfrac{1-x}{1+x}}=\dfrac{\dfrac{2x}{1+x}}{\dfrac{2}{1+x}}=x\), portanto a iteração volta ao valor inicial em 2 passos, o período é 2.
Exemplo:
Se \(a_1=5\) e \(a_{n+1}=f(a_n)\) com \(f\) acima, então
\(a_2=\dfrac{1-5}{1+5}=-\dfrac{2}{3}\)
\(a_3=f(a_2)=5\), assim os termos alternam com período 2, logo \(a_n=5\) se \(n\) é ímpar, e \(a_n=-\tfrac{2}{3}\) se \(n\) é par.
Veja como foi cobrado:
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