Como se calcula a soma dos m primeiros termos de uma linha n, cujos termos são k·n para k=2,3,..., com sinais alternados iniciando negativo?

Solução direta: S = n·(soma dos k ímpares − soma dos k pares), para k = 2,...,m+1.

Explicação e exemplo
Os termos da linha n são \(a_k = (-1)^{k+1}\,k\,n\), para \(k=2,3,\dots\).
Logo a soma dos primeiros m termos é
\(S = n\sum_{k=2}^{m+1}(-1)^{k+1}k = n\big(\sum_{\substack{k=2\\k\ \text{ímpar}}}^{m+1}k - \sum_{\substack{k=2\\k\ \text{par}}}^{m+1}k\big)\).
Para calcular cada soma use a fórmula da progressão aritmética.

Exemplo: seja \(n=7\) e \(m=10\) (k vai de 2 a 11).
Somatório dos pares: \(2+4+6+8+10 = 30\), somatório dos ímpares: \(3+5+7+9+11 = 35\).
Pela fórmula, \(S = 7\cdot(35-30)=7\cdot5=35\).
Conferindo pelos termos: negativos \(-14,-28,-42,-56,-70\) somam \(-210\), positivos \(21,35,49,63,77\) somam \(245\), total \(245-210=35\).