Para que 11(a+b) seja um quadrado perfeito, que condição deve satisfazer a soma dos algarismos a+b?

a+b precisa ser múltiplo de 11, logo para dois algarismos temos a+b=11.

Porque para qualquer número de dois algarismos ab, ab+ba = \(11(a+b)\).
Para que \(11(a+b)\) seja um quadrado perfeito, o fator 11 deve aparecer com expoente par, portanto \(a+b\) deve conter um fator 11, isto é \(a+b=11k\).
Como para dígitos válidos \(a+b\in[1,18]\), só cabe \(k=1\), então \(a+b=11\).

exemplo:
Se tomarmos \(a+b=44\), então \(11\cdot44=484=22^2\), assim mostra-se que quando \(a+b\) é múltiplo de 11, \(11(a+b)\) pode ser quadrado perfeito, o que evidencia a necessidade de \(a+b\) conter o fator 11.