Se, para n valores, são dadas as somas de todos os subconjuntos que omitem exatamente um elemento, como calcular a soma total S desses n valores?

Solução direta: \(S=\dfrac{\sum \text{(somas dos grupos que omitem um elemento)}}{\,n-1\,}\).

Justificativa:
Sejam os valores \(a_1,\dots,a_n\) e \(w_i\) a soma do grupo que omite \(a_i\), então \(w_i=S-a_i\). Somando para todos os i, obtemos \(\sum_{i=1}^n w_i = \sum_{i=1}^n (S-a_i)=nS-\sum_{i=1}^n a_i=(n-1)S\). Daí \(S=\dfrac{\sum_{i=1}^n w_i}{n-1}\).

Exemplo:
Suponha \(n=4\) e as somas dos grupos de 3 elementos sejam \(180,\;185,\;190,\;195\). Então
\(\sum w_i=180+185+190+195=750\),
\(S=\dfrac{750}{3}=250\).
Os valores individuais podem ser obtidos por \(a_i=S-w_i\), por exemplo \(a_1=250-180=70,\;a_2=65,\;a_3=60,\;a_4=55\).
Logo a média é \(\bar{x}=S/n=250/4=62{,}5\).