Como se obtém a variância de uma variável aleatória contínua conhecendo sua função densidade f(x)?

Var(X)=E(X^2)-E(X)^2, com \(E(X)=\int x\,f(x)\,dx\) e \(E(X^2)=\int x^2\,f(x)\,dx\).

Exemplo:
\( \text{Considere }f(x)=3x^2,\;0\le x\le1.\)
\(E(X)=\int_0^1 x\cdot 3x^2\,dx=3\int_0^1 x^3\,dx=3\cdot\frac{1}{4}=\frac{3}{4}.\)
\(E(X^2)=\int_0^1 x^2\cdot 3x^2\,dx=3\int_0^1 x^4\,dx=3\cdot\frac{1}{5}=\frac{3}{5}.\)
\(Var(X)=\frac{3}{5}-\left(\frac{3}{4}\right)^2=\frac{3}{5}-\frac{9}{16}=\frac{3}{80}.\)