Qual estatística pivotal e qual a fórmula do intervalo de confiança para a taxa λ de uma exponencial com n observações independentes?

2λS segue χ² com 2n graus de liberdade, logo

\( \;P\big(\chi^2_{2n,\alpha/2}\le 2\lambda S\le \chi^2_{2n,1-\alpha/2}\big)=1-\alpha\; \)

Isolando λ, obtém-se

\( \displaystyle \lambda\in\left[\frac{\chi^2_{2n,\alpha/2}}{2S}\;,\;\frac{\chi^2_{2n,1-\alpha/2}}{2S}\right] \)

exemplo:

Suponha uma amostra de \(n=20\) lâmpadas, com média de vida \(\bar X=120\) horas, então \(S=n\bar X=2400\). Para nível de 95% use \(\alpha=0{,}05\), \(2n=40\), com aproximadamente \( \chi^2_{40,0{,}025}\approx24{,}433\) e \( \chi^2_{40,0{,}975}\approx59{,}342\).

Calculando o intervalo:

\( \displaystyle \lambda\in\left[\frac{24{,}433}{2\cdot2400}\;,\;\frac{59{,}342}{2\cdot2400}\right]=\left[0{,}00509,\;0{,}01236\right]\) falhas por hora.

Interpretando, com 95% de confiança a taxa de falha populacional está entre aproximadamente 0,00509 e 0,01236 falhas por hora.