Se n números naturais distintos têm menor valor d, qual a expressão para a soma mínima desses números?

\(S_{min}=nd+\dfrac{n(n-1)}{2}\)
A soma mínima ocorre quando os números são consecutivos a partir de d, ou seja \(d,d+1,\dots,d+n-1\).
Portanto \(S_{min}=d+(d+1)+\dots+(d+n-1)=nd+\dfrac{n(n-1)}{2}\).
Exemplo:
Suponha 5 números distintos somam 40, então \(5d+\dfrac{5\cdot4}{2}=5d+10\le40\Rightarrow5d\le30\Rightarrow d\le6\).
Logo o maior inteiro possível é d=6, por exemplo \(6+7+8+9+10=40\).