Se \(N=10K+u\) com \(0\le u\le9\) e conhecido o valor de \(N-K\), como usar congruência módulo 9 para determinar \(u\)?

Use que \(N-K=9K+u\), então \(u\equiv N-K\pmod9\).

Explicação, partindo de \(N=10K+u\) segue que
\(N-K=9K+u\). Reduzindo modulo 9, obtemos
\(u\equiv N-K\pmod9\). Como \(u\) está em \(\{0,\dots,9\}\), escolhe-se o representante entre 0 e 9 congruente a \(N-K\), e em seguida calcula-se \(K=(N-K-u)/9\).

exemplo: suponha \(N-K=125\). Então \(125\equiv8\pmod9\), logo \(u=8\).
Calcula-se \(9K=125-8=117\), assim \(K=117/9=13\) e \(N=10\cdot13+8=138\). Verificação, \(138-13=125\).