Se a<b<c são inteiros positivos e a+b+c = S, como usar a condição c < a+b para obter limites inteiros para c?

c satisfaz c < S/2, logo c ≤ ⌊(S-1)/2⌋.

Além disso, como a e b são inteiros estritamente menores que c, os maiores valores possíveis são a ≤ c-2 e b ≤ c-1, então a+b ≤ 2c-3. Como a+b = S-c, vem \(S-c \le 2c-3\), ou seja \(3c \ge S+3\), logo c \ge \lceil (S+3)/3 \rceil.

Combinando os dois limites, obtém-se um intervalo inteiro para c que, em muitos casos, determina c unicamente.

Exemplo: para \(S=13\):
\(c < 13/2 = 6{,}5 \Rightarrow c \le 6\)
\(3c \ge 13+3 = 16 \Rightarrow c \ge \lceil 16/3 \rceil = 6\)
Logo \(c=6\). Um triplo crescente que satisfaz é \( (3,4,6)\), pois \(3+4+6=13\) e \(6<3+4\).