Como determinar o menor valor inicial x que garante ultrapassar um limite L em no máximo duas jogadas, sabendo que a cada jogada o número é multiplicado por um dos fatores {a,b,c}?

Resposta:
Calcule o maior multiplicador \(m_{max}\) e o menor \(m_{min}\). Para ganhar na próxima jogada precisa de \(x>\dfrac{L}{m_{max}}\). Para garantir em duas jogadas, mesmo com o adversário escolhendo o pior multiplicador, exija \(m_{max}\,m_{min}\,x> L\). Além disso, para que o adversário não vença antes, verifique \(m_{max}\,x\le L\).

Exemplo:
Se \(L=5000\) e os fatores são \(\{3,5,8\}\), então \(m_{max}=8\), \(m_{min}=3\).
Uma jogada para ganhar imediatamente precisa de \(x>\dfrac{5000}{8}=625\), portanto \(x\ge 626\).
Para garantir em duas jogadas: \(8\cdot 3\cdot x>5000\Rightarrow 24x>5000\Rightarrow x>208{,}33\), ou seja \(x\ge 209\).
Para impedir que o adversário vença na primeira jogada, requer \(8x\le5000\Rightarrow x\le625\).
Logo qualquer \(x\) com \(\mathbf{209\le x\le 625}\) garante vitória em no máximo duas jogadas.
Exemplo prático: escolha \(x=300\). Se o adversário escolhe o pior multiplicador \(3\), fica \(300\cdot3=900\), então escolhe \(8\) e obtém \(900\cdot8=7200>5000\), vitória.