Dado inteiros positivos a e m, qual o menor inteiro t>0 tal que a·t é múltiplo de m?

t = \(\dfrac{m}{\gcd(a,m)}\).

Porque a condição \(m\mid a\cdot t\) equivale a exigir que \(t\) seja múltiplo de \(\dfrac{m}{\gcd(a,m)}\), o menor \(t>0\) é \(t=\dfrac{m}{\gcd(a,m)}\).

exemplo:
Escolhendo \(a=45\) e \(m=72\), tem se \(\gcd(45,72)=9\), logo \(t=\dfrac{72}{9}=8\).
Verificação: \(45\cdot8=360\) e \(360\) é múltiplo de \(72\), pois \(\dfrac{360}{72}=5\).