Como montar e resolver equações quando uma troca altera a razão entre duas quantidades?

Expressando uma quantidade pela razão inicial, substituir na equação da nova razão e resolver a equação linear resultante.

Comece definindo variáveis, por exemplo x e y, e use a razão inicial \(x/y=a/b\) para obter \(x=\dfrac{a}{b}y\). Após a troca, calcule as novas quantidades \(x' = x - m + r_1\) e \(y' = y + r_2\), onde m é o que saiu do primeiro grupo, r₁ o que voltou para o primeiro e r₂ o que foi para o segundo. Imponha a nova razão \(x'/y' = c/d\), substitua \(x\) e resolva
Multiplicando e simplificando obtemos
\(d\!\left(\dfrac{a}{b}y - m + r_1\right) = c(y + r_2)\),
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\((d a - c b)\,y = d b (m - r_1) + c b r_2\),
assim
\(\displaystyle y=\frac{d b (m - r_1) + c b r_2}{d a - c b}\).

Exemplo:
Suponha razão inicial \(x/y=2/5\). Foram retirados \(m=10\) do primeiro tipo, chegaram \(r_1=4\) do mesmo tipo e \(r_2=6\) do segundo, e a nova razão passou a ser \(3/8\).
Temos \(x=\dfrac{2}{5}y\). A nova razão dá \(\dfrac{x-10+4}{y+6}=\dfrac{3}{8}\).
Substituindo, \(\dfrac{\tfrac{2}{5}y-6}{y+6}=\dfrac{3}{8}\).
Multiplicando, \(8\left(\tfrac{2}{5}y-6\right)=3(y+6)\).
\( \tfrac{16}{5}y-48 = 3y+18\). Multiplicando por 5, \(16y-240=15y+90\).
Logo \(y=330\) e \(x=\tfrac{2}{5}\cdot330=132\). Total inicial \(462\).