Flashcard FC575299
Se uma fração \(\frac{x}{y}\) somada a um decimal com denominador 100 resulta em inteiro, o que o denominador \(y\) deve necessariamente conter?
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FCC · 2019
Se uma fração \(\frac{x}{y}\) somada a um decimal com denominador 100 resulta em inteiro, o que o denominador \(y\) deve necessariamente conter?
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Resposta
y deve ser múltiplo de 100 (logo também de 10).Explicação:
Se o decimal é \(a/100\) com \(a\in\{1,\dots,99\}\) e \( \frac{x}{y}+ \frac{a}{100}=k\in\mathbb{Z}\), então \(\frac{x}{y}=\dfrac{100k-a}{100}\).
Como \(\gcd(100,100k-a)=\gcd(100,a)\), se \(\gcd(100,a)=1\) a fração reduzida tem denominador 100, logo \(y\) precisa conter todos os fatores de 100, ou seja, ser múltiplo de 100.
Exemplo:
Considere \(0{,}19+\dfrac{x}{y}=k\). Então \(\dfrac{x}{y}= \dfrac{100k-19}{100}\), como \(\gcd(100,19)=1\), segue que \(y\) é múltiplo de 100. Tomando \(y=100\) e \(k=1\), obtemos \(x=100\cdot1-19=81\), verificando que \(0{,}19+\dfrac{81}{100}=1\).
Veja como foi cobrado:
https://flashcardsconcursos.com.br/portal/flashcard/572009
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