Como montar a equação para encontrar a quantidade x transferida de uma terceira parte para um sócio, de modo que a razão entre duas partes permaneça a mesma?

Resposta

Formule a equação \( \dfrac{A+x}{B+(C-x)}=\dfrac{A}{B}\), resolva para \(x\) e, se as partes forem frações do total, \(x\) já representa a fração vendida.

Derivação rápida:
Multiplicando em cruz, \(B(A+x)=A(B+C-x)\).
Isso leva a \(BA+Bx=AB+AC-Ax\), cancelando \(AB\), fica \(Bx+Ax=AC\).
Logo \(x(A+B)=AC\) e portanto \( \displaystyle x=\frac{AC}{A+B}.\)

Suponha partes iniciais \(A=\tfrac{1}{2},\;B=\tfrac{1}{3},\;C=\tfrac{1}{6}\).
Use a fórmula \(x=\dfrac{AC}{A+B}\):
\(x=\dfrac{\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{6}}{\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{3}}=\dfrac{\tfrac{1}{12}}{\tfrac{5}{6}}=\dfrac{1}{12}\cdot\dfrac{6}{5}=\dfrac{1}{10}.\)
Portanto a fração do total vendida a A é \(\tfrac{1}{10}\).