Como simplificar o produto \(\prod_{k=m}^{n}\left(1-\frac{1}{k}\right)\)?

\(\displaystyle \prod_{k=m}^{n}\left(1-\frac{1}{k}\right)=\frac{m-1}{n}\)

Explicação, cada fator pode ser escrito como \(\frac{k-1}{k}\), os numeradores cancelam com os denominadores consecutivos, sobrando o primeiro numerador e o último denominador.

\( \displaystyle \prod_{k=m}^{n}\frac{k-1}{k}=\frac{m-1}{m}\cdot\frac{m}{m+1}\cdot\frac{m+1}{m+2}\cdots\frac{n-1}{n}=\frac{m-1}{n}\)

Exemplo:
\( \displaystyle \prod_{k=4}^{12}\left(1-\frac{1}{k}\right)=\prod_{k=4}^{12}\frac{k-1}{k}=\frac{3}{4}\cdot\frac{4}{5}\cdot\frac{5}{6}\cdots\frac{11}{12}=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}\)