Quantas soluções inteiras não negativas tem a equação \(x_1+x_2+\dots+x_n=k\), com \(n\ge1\) e \(k\ge0\)?

\( \displaystyle \binom{k+n-1}{k} \) (ou \( \binom{k+n-1}{n-1} \))

Explicação:
Coloque \(k\) bolinhas e \(n-1\) barras, total \(k+n-1\) posições, escolha as posições das bolinhas ou das barras, assim o número de soluções é \(\binom{k+n-1}{k}\).

Exemplo:
Conte as soluções não negativas de \(y_1+y_2+y_3+y_4=7\). Aqui \(k=7\), \(n=4\).
Aplicando a fórmula, \(\displaystyle \binom{7+4-1}{7}=\binom{10}{7}=\binom{10}{3}=120\).
Portanto existem 120 soluções inteiras não negativas.