Ao formar números sem repetição com dígitos de um conjunto, como aplicar simultaneamente as regras de divisibilidade por 5 e por 3 para contá-los?

Fixe o último dígito conforme a regra do 5, exija que a soma dos dígitos seja múltipla de 3, conte as escolhas válidas dos outros dígitos e multiplique pelas permutações das posições restantes.

Explicação completa:
1) Pela divisibilidade por 5, o último dígito deve ser 0 ou 5, se estiver disponível no conjunto.
2) Pela divisibilidade por 3, a soma dos algarismos do número tem de ser congruente a 0 módulo 3, escolha os dígitos restantes de modo que sua soma junto com o último dê múltiplo de 3.
3) Conte quantas seleções de dígitos satisfazem a condição da soma, depois multiplique pelo número de permutações das posições livres, ou seja por \(k!\) se houver \(k\) posições a permutar.

Exemplo: considere os dígitos {0,1,2,3,4} e queira formar números de 3 algarismos sem repetição, múltiplos de 3 e de 5.
• Pelo 5, o último dígito deve ser 0 (5 não está no conjunto).
• Precisamos escolher 2 dígitos distintos entre {1,2,3,4} tais que a soma com 0 seja múltipla de 3. Verificando pares, apenas {1,2} atende, pois \(1+2+0=3\).
• Número de seleções = 1, permutações das duas primeiras posições = \(2!\ =2\).
• Assim há 2 números: 120 e 210.