Flashcard FC575562
Como contar quantos números de 3 algarismos têm um algarismo fixo d como média aritmética dos outros dois?
Análise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações)
FCC · 2024
Como contar quantos números de 3 algarismos têm um algarismo fixo d como média aritmética dos outros dois?
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Resposta
Contar todos os pares de dígitos u,v∈{0,...,9} com u+v=2d, para cada par formar o multiconjunto {d,u,v}, contar as permutações distintas de 3 algarismos e excluir as permutações que começam com 0.Explicação e exemplo:
Passos:
1) Resolver \(u+v=2d\) com \(u,v\in\{0,\dots,9\}\).
2) Para cada solução \((u,v)\) considerar os dígitos \{d,u,v\}.
3) Se os três dígitos são distintos, há 6 permutações; se dois iguais, há 3 permutações, se todos iguais, há 1.
4) Subtrair as permutações que têm 0 na primeira posição (não são números de 3 algarismos).
Exemplo (d = 5):
Temos \(u+v=2\cdot5=10\). As soluções válidas em 0–9 são \((1,9),(2,8),(3,7),(4,6),(5,5)\).
Para \((1,9),(2,8),(3,7),(4,6)\) os dígitos são todos distintos, cada caso gera 6 números, total \(4\cdot6=24\).
Para \((5,5)\) os dígitos são todos 5, gera 1 número (555).
Não há casos com 0 na primeira posição aqui, portanto o total é \(24+1=25\).
Exemplo final: para \(d=5\) existem \(25\) números de 3 algarismos com 5 sendo a média dos outros dois, cálculo \(4\cdot6+1=25\).
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Veja como foi cobrado:
https://flashcardsconcursos.com.br/portal/flashcard/572272
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