Flashcard FC575573
Como se calcula o número de desarranjos (permutações sem pontos fixos) de n elementos?
Análise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações)
FCC · 2022
Como se calcula o número de desarranjos (permutações sem pontos fixos) de n elementos?
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Resposta
\(D_n = n!\sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^k}{k!}\)Explicação: Pela inclusão-exclusão, conta-se todas as permutações e subtrai-se as que fixam pelo menos um elemento, obtendo
\(D_n = n! - \binom{n}{1}(n-1)! + \binom{n}{2}(n-2)! - \cdots + (-1)^n\binom{n}{n}0!\).
Exemplo: para \(n=5\)
\(D_5 = 5! - \binom{5}{1}4! + \binom{5}{2}3! - \binom{5}{3}2! + \binom{5}{4}1! - \binom{5}{5}0!\)
\(=120 - 5\cdot24 + 10\cdot6 - 10\cdot2 + 5\cdot1 - 1 = 44\).
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