Flashcard FC575578
Como se calcula o número de desarranjos (permutações sem pontos fixos) de n elementos?
Análise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações)
FCC · 2019
Como se calcula o número de desarranjos (permutações sem pontos fixos) de n elementos?
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Resposta
\(!n=\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\binom{n}{k}(n-k)! = n!\sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^k}{k!}\)Explicação:
Aplica-se o princípio da inclusão-exclusão, conta-se todas as permutações e alternadamente subtrai-se e adiciona-se as permutações que fixam pelo menos k elementos, para eliminar todas as que têm pontos fixos.
Exemplo:
\( !5 = 5! - \binom{5}{1}4! + \binom{5}{2}3! - \binom{5}{3}2! + \binom{5}{4}1! - \binom{5}{5}0! \)
\( = 120 - 5\cdot24 + 10\cdot6 - 10\cdot2 + 5\cdot1 - 1 = 44 \)
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Veja como foi cobrado:
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