Flashcard FC575582
Em permutações sem repetição de k elementos escolhidos dentre n distintos, quantas vezes cada elemento aparece em uma posição fixa?
Análise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações)
FCC · 2019
Em permutações sem repetição de k elementos escolhidos dentre n distintos, quantas vezes cada elemento aparece em uma posição fixa?
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Resposta
Cada elemento aparece \( \dfrac{(n-1)!}{(n-k)!} \) vezes em uma posição fixa.Explicação:
Se fixamos um elemento em uma posição, os outros \(k-1\) lugares são preenchidos por permutações de \(n-1\) elementos, portanto há \(P(n-1,k-1)=\dfrac{(n-1)!}{(n-k)!}\) arranjos com esse elemento naquela posição.
Exemplo:
Considere os dígitos {2,4,6,8,9}, então \(n=5\) e formam-se números de \(k=3\) dígitos distintos.
Cada dígito aparece em uma posição fixa \( \dfrac{(5-1)!}{(5-3)!}=\dfrac{4!}{2!}=12\) vezes.
Total de números \(P(5,3)=\dfrac{5!}{2!}=60\).
Soma dos dígitos disponíveis \(2+4+6+8+9=29\).
Soma nas unidades: \(12\times29=348\).
Contribuição das dezenas: \(10\times348=3\,480\).
Contribuição das centenas: \(100\times348=34\,800\).
Soma total: \(348+3\,480+34\,800=38\,628\).
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Veja como foi cobrado:
https://flashcardsconcursos.com.br/portal/flashcard/572292
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