Como montar e resolver uma equação de 1º grau a partir do total gasto por períodos e de uma relação multiplicativa entre os preços?

Formule uma equação somando as quantidades totais por período e substitua a relação entre os preços para resolver a incógnita.

Explique, passo a passo:
1) Conte quantas unidades de cada item foram compradas no período, escreva a soma dos gastos, \(a x + b y = T\).
2) Use a relação entre preços, por exemplo \(y = kx\), substitua em \(a x + b(kx)=T\).
3) Resolva a equação de 1º grau para \(x\) e encontre \(y\).

Exemplo:
Um produto A é comprado 1 vez por mês (12 unidades/ano) e um produto B é comprado a cada 4 meses (3 unidades/ano). Sabe-se que o preço de B é 5 vezes o preço de A, e o gasto anual foi R$270.

Monte a equação: \(12A+3B=270\).
Divida por 3 para simplificar: \(4A+B=90\).
Substitua \(B=5A\): \(4A+5A=90\).
Somando, \(9A=90\), então \(A=10\).
Logo \(B=5\times10=50\).
O gasto ao comprar um de cada é \(A+B=10+50=60\).