Como determinar o dígito das centenas em uma soma vertical quando o resultado tem três dígitos iguais ZZZ?

Use o limite máximo da soma para fixar a centena, depois resolva por transportes e congruências módulo 10.

Explicação: Calcule o valor máximo possível dos termos somados, isso limita a centena do resultado, assim define-se \(Z\). Em seguida, trate a coluna das unidades com o transporte \(c_1=\left\lfloor\dfrac{\text{soma das unidades}}{10}\right\rfloor\), escreva a congruência módulo 10 para as unidades, e use a equação das dezenas com o transporte \(c_2\), isto é \( \text{dezena}+c_1 = Z + 10c_2\), resolvendo para os dígitos.

exemplo:
Considere \(a + bb + c = 111\). O máximo é \(9+99+9=117\), logo 111 é compatível com centena 1. Nas unidades: \(a+b+c\equiv1\pmod{10}\), e \(c_1=\left\lfloor\dfrac{a+b+c}{10}\right\rfloor\). Nas dezenas, como a centena é 1, tem-se \(b+c_1=11\), daí \(b=9\) e \(c_1=2\). Voltando às unidades, \(a+9+c\equiv1\pmod{10}\) com \(a+9+c\ge20\), logo \(a+c=12\). Uma solução é \(a=7\), \(b=9\), \(c=5\), de fato \(7+99+5=111\).