Como montar e resolver uma equação do 1º grau quando inicialmente uma quantidade é k% de outra, e após transferir t unidades da maior para a menor, a maior passa a ser k% da menor?

Defina variável para a maior, converta k% em decimal, modele a transferência com ±t, forme a equação e resolva.

Seja x a quantidade da maior, k o percentual em decimal, e t o número transferido.
Inicialmente, a menor vale \(k x\).
Após transferir, a maior vale \(x-t\) e a menor \(k x + t\).
A condição nova é \(x - t = k\,(k x + t)\).
Resolvendo: \(x - t = k^2 x + k t\), então \(x(1-k^2)=t(1+k)\).
Como \(1-k^2=(1-k)(1+k)\), simplifica para \(x=\dfrac{t}{1-k}\).

Exemplo:
Escolha \(k=0{,}5\) (50%) e \(t=10\).
Fórmula: \(x=\dfrac{t}{1-k}=\dfrac{10}{1-0{,}5}=\dfrac{10}{0{,}5}=20\).
Inicialmente a menor é \(0{,}5\times20=10\).
Após transferir 10 da maior para a menor, a maior fica \(20-10=10\) e a menor \(10+10=20\).
Confirmação da condição: \(10\) é \(50\%\) de \(20\), logo a modelagem e a solução estão corretas.