Como formar a equação quando uma taxa percentual é cobrada sobre o total em um caso e apenas sobre uma parte no outro, sabendo a diferença entre os resultados?

Escrevendo as duas expressões e igualando a diferença ao valor dado.

Seja e o valor da parte separada, e c o consumo.
Primeiro cálculo: \(1{,}1(c+e)\).
Segundo cálculo: \(1{,}1c+e\).
A diferença: \(1{,}1(c+e)-(1{,}1c+e)\).
Simplificando: \(1{,}1c+1{,}1e-1{,}1c-e=0{,}1e\).
Logo a equação reduz a \(0{,}1e=\) valor da diferença, resolvendo-se para e.

Exemplo:
Se a diferença entre as contas for R$ 6,00, então \(0{,}1e=6\), assim \(e=\dfrac{6}{0{,}1}=60\).
Portanto o valor da parte separada é R$ 60,00.