Como representar por equações as quantidades iniciais quando transferências entre três pessoas fazem com que as quantidades finais fiquem iguais?

Definição rápida: defina variáveis para as quantidades iniciais, escreva cada quantidade final como inicial + recebidas - dadas, imponha a igualdade entre as quantidades finais e use a equação da soma total para resolver.

Exemplo: Suponha que três pessoas têm juntas 30 bolas. Uma dá 3 a outra, a segunda dá 2 à terceira, e a terceira dá 1 à primeira, e ao fim todos ficam com a mesma quantidade. Calcule as quantidades iniciais.

Sejam \(A,B,C\) as iniciais com \(A+B+C=30\).
Finais: \(A-3+1=A-2\), \(B-2+3=B+1\), \(C-1+2=C+1\).
Impondo igualdade: \(A-2=B+1=C+1\).
Daí \(A=C+3\) e \(B=C\).
Substituindo na soma: \((C+3)+C+C=30\Rightarrow 3C+3=30\Rightarrow C=9\).
Logo \(A=12,\;B=9,\;C=9\).