Como resolver uma equação linear com duas incógnitas quando uma incógnita é dada em função da outra (por exemplo, m = p + k)?

Substituir a relação na equação, reduzir para uma variável, resolver e verificar que a solução é inteira não negativa.

Seja uma equação geral \(ax+by=N\) e a relação \(x=y+k\). Substitindo, \(a(y+k)+by=N\), portanto \((a+b)y+a k=N\), assim \(y=\dfrac{N-a k}{a+b}\). É preciso que \(y\) seja inteiro e \(y\ge 0\), depois \(x=y+k\).

Exemplo: caixas A com 6 itens e B com 5 itens, total de 23 itens, A excede B em 2 caixas.
Seja \(a\) número de caixas A e \(b\) número de caixas B, com \(a=b+2\).
\(6a+5b=23\)
Substituindo, \(6(b+2)+5b=23\) → \(6b+12+5b=23\) → \(11b=11\) → \(b=1\).
Logo \(a=b+2=3\). Conferindo, \(6\cdot3+5\cdot1=18+5=23\).