Para dois números positivos com soma fixa, quando o produto é máximo?

Quando são iguais, pela desigualdade AM-GM.

Explicação:
Para \(a,b>0\) com soma fixa \(S\), temos \( \dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\), portanto \(ab\le\left(\dfrac{S}{2}\right)^2\), com igualdade em \(a=b=\dfrac{S}{2}\).

Exemplo:
Se \(a+b=10\), então \(ab\le\left(\dfrac{10}{2}\right)^2=25\), com igualdade em \(a=b=5\).
Logo \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{10}{ab}\) atinge seu menor valor quando \(ab=25\), valendo \(\dfrac{10}{25}=\dfrac{2}{5}\).