Se \(r\) é uma raiz de multiplicidade 2 de um polinômio, como proceder para encontrar as demais raízes?

Divida o polinômio por (x-r)^2 usando divisão sintética duas vezes, e resolva o polinômio reduzido resultante.

Explicação e exemplo.

Seja \(P(x)\) com \(r\) raiz dupla, pegue os coeficientes de \(P(x)\) e aplique a divisão sintética por \(r\) duas vezes. O quociente final terá grau reduzido, resolva-o por fatoração ou pela fórmula quadrática para obter as outras raízes.

Exemplo: considere \(P(x)=x^4-9x^3+29x^2-39x+18\), sabemos que \(r=3\) é raiz dupla. Coeficientes: \(1,\,-9,\,29,\,-39,\,18\).

Primeira divisão por \(3\): trazemos 1, multiplicamos por 3 e somamos:
\(1,\; -9+3=-6,\; -6\cdot3=-18,\;29-18=11,\;11\cdot3=33,\;-39+33=-6,\;-6\cdot3=-18,\;18-18=0.\)
Quociente cúbico: \(x^3-6x^2+11x-6\).

Segunda divisão por \(3\): coeficientes \(1,\,-6,\,11,\,-6\):
\(1,\; -6+3=-3,\; -3\cdot3=-9,\;11-9=2,\;2\cdot3=6,\;-6+6=0.\)
Quociente quadrático: \(x^2-3x+2\).

Resolver \(x^2-3x+2=0\) dá \(x=1\) e \(x=2\). Assim as raízes restantes são \(1\) e \(2\).