Como aplicar as propriedades do logaritmo para resolver uma equação do tipo ln(e^{h(x)}/p(x)) = h(x) e que condição de domínio deve ser verificada?

Resposta: usar ln(a/b)=ln a - ln b, simplificar ln(e^{h(x)})=h(x), cancelar termos e impor p(x)>0 e argumento do ln>0.

Explicação:
Separe o logaritmo, vem \( \ln\!\left(\dfrac{e^{h(x)}}{p(x)}\right)=\ln(e^{h(x)})-\ln(p(x)) \).
Como \(\ln(e^{h(x)})=h(x)\), a equação fica \(h(x)-\ln(p(x))=h(x)\).
Cancele \(h(x)\) em ambos os lados, resta \(-\ln(p(x))=0\), logo \(\ln(p(x))=0\).
Isso implica \(p(x)=1\), além de verificar \(p(x)>0\) e qualquer restrição como \(p(x)\neq\) zeros que anulam o denominador.

Exemplo:
Resolver \( \ln\!\left(\dfrac{e^{2x}}{x+3}\right)=2x \).
Aplicando as propriedades, \(2x-\ln(x+3)=2x\).
Cancela \(2x\), obtém-se \(-\ln(x+3)=0\), portanto \(\ln(x+3)=0\).
Logo \(x+3=1\), assim \(x=-2\).
Verificação de domínio: \(x\neq -3\) e \(x+3>0\), para \(x=-2\) temos \(x+3=1>0\), portanto solução válida.