Flashcard FC575748
Como verificar se uma solução obtida em um ramo de uma função por partes é válida para esse ramo ao estudar o parâmetro?
Funções e Inequações
FCC · 2022
Como verificar se uma solução obtida em um ramo de uma função por partes é válida para esse ramo ao estudar o parâmetro?
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Resposta
Impondo a condição do ramo ao x encontrado, convertendo-a em desigualdade sobre o parâmetro.Explicação:
Resolva a equação separadamente em cada ramo, encontre \(x\) em função do parâmetro, depois exija que esse \(x\) satisfaça a condição do ramo (por exemplo \(x\le0\) ou \(x>0\)), isso produz uma desigualdade sobre o parâmetro. Interseccione as condições dos ramos para obter o conjunto de parâmetros que geram soluções em cada ramo.
Exemplo:
Considere \(f(x)=\begin{cases}x,&x\le0\\[4pt]2x,&x>0\end{cases}\) e a equação \(1-f(x)=\alpha x\).
Caso \(x\le0\): \(1-x=\alpha x\Rightarrow 1=x(\alpha+1)\Rightarrow x=\dfrac{1}{\alpha+1}\). Para \(x\le0\) é preciso \(\alpha+1<0\), ou seja \(\alpha<-1\).
Caso \(x>0\): \(1-2x=\alpha x\Rightarrow 1=x(\alpha+2)\Rightarrow x=\dfrac{1}{\alpha+2}\). Para \(x>0\) é preciso \(\alpha+2>0\), ou seja \(\alpha>-2\).
Assim, ambos os ramos fornecem soluções quando \(\alpha\in(-2,-1)\), garantindo duas soluções reais distintas.
Veja como foi cobrado:
https://flashcardsconcursos.com.br/portal/flashcard/572458
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