O que significa um intervalo ser invariante e ser absorvente para a sequência \(X_{n+1}=f(X_n)\)?

Invariante: todo \(x\) no intervalo tem \(f(x)\) também no intervalo, Absorvente: qualquer órbita entra no intervalo em número finito de passos e daí permanece nele.

Explicação completa:
Um intervalo \(I\) é invariante se, para todo \(x\in I\), vale \(f(x)\in I\).
É absorvente se para cada \(x\) do domínio existe \(N\) tal que \(f^N(x)\in I\), e então \(f^n(x)\in I\) para todo \(n\ge N\).

Exemplo:
Considere \(f(x)=x/2\) e o intervalo \(I=[-1,1]\).
Temos \(X_{n+1}=X_n/2\), logo \(X_n=X_0/2^n\).
Como \(|X_n|=|X_0|/2^n\), escolhe-se \(N\) tal que \(|X_0|/2^N\le 1\), isto é \(N\ge \log_2|X_0|\).
Assim para todo \(n\ge N\) tem-se \(|X_n|\le 1\), ou seja \(X_n\in[-1,1]\).
Além disso, se \(|x|\le 1\) então \(|f(x)|=|x|/2\le 1\), portanto \(I\) é invariante e também absorvente para esta iteração.